已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：-1a＜g(a)＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：-

1

a

＜g(a)＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 f′(x)=

a(x-

1

a

)

x+1

，
∵a＞0，x＞-1，∴当 -1＜x＜

1

a

时，f'（x）＜0，
当 x＞

1

a

时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 (-1，

1

a

)，单调递增区间是 (

1

a

，+∞)．
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0．
要证明 -

1

a

＜g(a)＜0，
只须证明

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．
设 φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞）．
则 φ′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞

x

x+1

．
取 x=

1

a

得到

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)成立．
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 x=

1

a

得到 ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．因此，-

1

a

＜g(a)＜0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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