已知函数f（x）=ax2-lnx．（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）已知曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2-lnx．（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）已知曲线y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²-lnx．（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（ii）当a＞0时，方程2ax²-1=0有两根x₁=

1

2a

，x₂=-

1

2a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此时当x∈（0，

1

2a

）时，f'（x）＜0，
当x∈（

1

2a

，+∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1

2a

）为减函数，在（

1

2a

，+∞）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（

1

2a

，+∞），递减区间为（0，

1

2a

）．
（2）设切点为M（t，t），t＞0．
则f'（t）=1，且at²-lnt=t，∴t-1+2lnt=0，（*）
由于1-1+2ln1=0，∴方程（*）有解t=1，
令g（t）=t-1+2lnt，
∵g'（t）=1+

2

t

＞0，g（t）在（0，+∞）上是增函数，
∴方程（*）有唯一解t=1，
∴a×1²=1+ln1，
∴a=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2-lnx．（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）已知曲线y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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