已知函数f(x)=xlnx，g(x)=xex-2e．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=xlnx，g(x)=xex-2e．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1．
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以函数f（x）在区间[1，3]上单调递增，又f（1）=0，
所以函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为0．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在x=

1

e

时取得最小值，
又f(

1

e

)=-

1

e

，可知f(m)≥-

1

e

．
由g(x)=

x

ex

-

2

e

，可得g′(x)=

1-x

ex

．
所以当x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以函数g（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又g(1)=-

1

e

，可知g(n)≤-

1

e

，
所以对任意m，n∈（0，+∞），
都有f（m）≥g（n）成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=xlnx，g(x)=xex-2e．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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