设函数C：f（x）=2ax-bx+lnx，若f（x）在x=1，x=-12处取得极值，（i）求a，b的值；（ii）在[14，2]存在x0，使得不等式f（x0）-c≤0，求c的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数C：f（x）=2ax-bx+lnx，若f（x）在x=1，x=-12处取得极值，（i）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数C：f（x）=2ax-

b

x

+lnx，若f（x）在x=1，x=-

1

2

处取得极值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，求c的最小值．

试题来源：河东区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（i）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=1，x=-

1

2

处取得极值，
∴f′（1）=0，f′（

1

2

）=0，
即

2a+b+1=0

2a+4b+2=0

，
解得：

a=-

1

3

b=-

1

3

，
∴所求a，b的值为-

1

3

，-

1

3

；
（ii）在[

1

4

，2]存在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是单调递减，
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是单调递减；
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，2]上的极小值，
而f（

1

2

）=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2，f（2）=-

7

6

+ln2，
且f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
又e³-16＞0，
∴lne

3

2

-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-

7

6

+ln2，
∴c的取值范围为[-

7

6

+ln2，+∞），
∴c的最小值为

7

6

+ln2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数C：f（x）=2ax-bx+lnx，若f（x）在x=1，x=-12处取得极值，（i）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：