已知函数f（x）=lnx+1x+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；（3）设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+1xn+1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+1x+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．（1）当a=0时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+

1

xn+1

＜1（n∈N^*），证明：x_n≤1（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）a=0时，f′（x）=

x-1

x2

当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，
∴f（x）_min=1
（2）f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0

g(2)≤0

-

1

2a

≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x₁=b＞1，由（1）知，
∴ln

xn

b

+

b

xn

≥1＞lnx_n+

1

xn+1

，∴

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，（n∈N^*），
∴故1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞ lnb+

1

b

(lnb+

1

x3

)…＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1-

1

b

lnb，即

1

1-

1

b

lnb＜1，即lnb＜1-

1

b

，①
又由（1）当b＞1时，lnb+

1

b

＞1∴lnb＞1-

1

b

＞1，与①矛盾，故b≤1，即x₁≤1，
同理可证x₂≤1，x₃≤1，…，x_n≤1（n∈N^*）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+1x+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．（1）当a=0时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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