设x1，x2（x1≠x2）使函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点（1）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值；（2）若x1＜x＜x2，且x2=a，函数g（x）=f（x）‘-a（x-x1），求证：|g(x)|≤34a3+a2+a3．-数学试题及答案

1、试题题目：设x1，x2（x1≠x2）使函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴函数f（x）的导数为f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数的两个极值点
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，得

x1+x2=-

2b

3a

x1?x2 =-

a

3

∵两根x₁，x₂之积为-

a

3

＜0
∴两根x₁，x₂之中一正一负，可得|x1|+|x2|=|x1-x2|=2

2

平方，得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁?x₂=8
即：(-

2b

3a

) 2+

4a

3

=8
整理，得4b²=72a²-12a³，其中a＞0
∴b²=18a²-3a³
记F（a）=18a²-3a³，得F′（a）=36a-9a²=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在区间（0，4）上为增函数，在区间（4，+∞）上为减函数
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值为F（4）=96
∴b的最大值为

96

=4

6

（2）由（1）的根与系数的关系，结合x₂=a，得

x1+a=-

2b

3a

x1?a =-

a

3

?

x1= -

1

3

2b=-3a2+a

∴f'（x）=3ax²+2bx-a²=3ax²+（-3a²+a）x-a²
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）=3ax²+（-3a²+a）x-a²-a（x+

1

3

）
=3ax²-3a²x-a²-

1

3

a=（x+

1

3

）（3ax-3a²-a）
g（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=

a

2

对称
它的两个零点为-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

∵x₁＜x＜x₂即x∈（-

1

3

，a），a＜

3a2+a

3a

=a+

1

3

∴g（x）＜0且g（x）的最小值为g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)
∴不等式|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2（x1≠x2）使函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：