已知函数f（x）=ln（x+1）-kxx+1（k为常数）（1）求f（x）的单调区间；（2）求证不等式xln(x+1)-1＜x2在x∈（0，1）时恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（x+1）-kxx+1（k为常数）（1）求f（x）的单调区间；（2）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（x+1）-

kx

x+1

（k为常数）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在x∈（0，1）时恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f'（x）=

1

x+1

-

k

(x+1)2

=

x-(k-1)

(x+1)2

（2分）
令f'（x）＞0得：x＞k-1
当k-1≤-1即k≤0时，f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）（3分）
当k-1＞-1即k＞0时，f（x）的单调递减区间是（-1，k-1），f（x）的单调递增区间是（k-1，+∞）（5分）
（2）当x∈（0，1）时，原不等式等价于ln（x+1）

x+2

x+1

＞2．
令g（x）=ln（x+1）+

x+2

x+1

，g′(x)=

1

x+1

-

1

(x-1)2

=

x

(x+1)2

（7分）
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是单调递增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在区间（0，1）上恒成立．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（x+1）-kxx+1（k为常数）（1）求f（x）的单调区间；（2）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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