已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数g(x)=f(x)-kxex，x∈[e，3]的最大值为1e2时，求k的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数g(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数g(x)=

f(x)-kx

ex

，x∈[e，3]的最大值为

1

e2

时，求k的值．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞

1

e

，所以函数f（x）在（0，

1

e

]上单调递减，在[

1

e

，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜

1

e

，所以函数f（x）在（0，

1

e

]上单调递增，在[

1

e

，+∞）上单调递减；
（2）因为g(x)=

f(x)-kx

ex

，所以g′（x）=

k(lnx+x-xlnx)

ex

令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=

1

x

-lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1，

1

x

≤

1

e

＜1，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x）_min=u（3）=3-3ln3=ln

e3

9

＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x）_max=g（3）=

1

e2

，所以k=

e

3(ln3-1)

；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为

1

e2

时，k的值为

e

3(ln3-1)

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数g(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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