已知函数f(x)=(x2-x-1a)eax（a＞0）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（II）若不等式f(x)+5a≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(x2-x-1a)eax（a＞0）．（I）当a=1时，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)eax（a＞0）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式f(x)+

5

a

≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

对函数f（x）求导得：f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1）…（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=e（x+2）（x-1）
令f'（x）＞0，解得 x＞1或x＜-2；
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜1
所以，f（x）单调增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），f（x）单调减区间为（-2，1）．…（5分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-

2

a

或x=1（16分）
当a＞0时，列表得：

x

(-∞，-

2

a

)

-

2

a

(-

2

a

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

…（8分）
对于x＜-

2

a

时，因为x2＞0，-x＞

2

a

，a＞0，所以x2-x-

1

a

＞0，∴f（x）＞0 …10 分
对于x≥-

2

a

时，由表可知函数在x=1时取得最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
所以，当x∈R时，f(x)min=f(1)=-

1

a

ea…（11分）
由题意，不等式f(x)+

5

a

≥0对x∈R恒成立，
所以得-

1

a

ea+

5

a

≥0，解得0＜a≤ln5…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(x2-x-1a)eax（a＞0）．（I）当a=1时，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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