设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，（I）求函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程；（II）设F（x）=ax2-（a+2）x+f′（x）（a＞0），讨论函数F（x）的单调性；（III）设函数H（x）=f（x）+g（x），是否-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，（I）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程；
（II）设F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），讨论函数F（x）的单调性；
（III）设函数H（x）=f（x）+g（x），是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=H(x)(x∈[

1

e

，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），
则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，f（e）=e，
∴所求切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0
F′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，x＞0，a＞0，
令F′（x）=0，则x=

1

2

，或

1

a

，
①当0＜a＜2，即

1

a

＞

1

2

时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，或x＞

1

a

；
令F′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜

1

a

；
∴F（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上单调递增，在（

1

2

，

1

a

）单调递减．
②当a=2，即

1

a

=

1

2

时，F′（x）≥0恒成立，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＞2，即

1

a

＜

1

2

时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

或x＞

1

2

；
令F′（x）＜0，解得

1

a

＜x＜

1

2

；
∴F（x）在（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）上单调递增，在（

1

a

，

1

2

）单调递减．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，
当x在区间（

1

e

，e）内变化时，H′（x），H（x）的变化情况如下表：

x

1

e

（

1

e

，1）

1

（1，e）

e

H′（x）

-

0

+

H（x）

2-

2

e

↘

极小值1

↗

2

又∵2-

2

e

＜2，∴函数H(x)=-x+2+xlnx(x∈[

1

e

，e])的值域为[1，2]．
据此可得，若

m=1

M=2

，则对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共点；
并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都没有公共点．
综上，存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，（I）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：