已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（π2，π），（Ⅰ）-数学试题及答案

1、试题题目：已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知x∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（

π

2

，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x₂∈[-1，1]，求证：f（x₁）-f（x₂）≤4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）由已知f'（x）=3ax²+2bx+c∴

f(0)=0

f′(0)=0

?c=d=0∴c=d=0…（2分）
又|

2-f′(-1)

1+2f′(1)

| =1且f'（-1）＜0∴f'（-1）=-3 （舍去f'（-1）=

1

3

）
∴

f(-1)=-a+b=2

f′(-1)=3a-2b=-3

?

a=1

b=3

?f（x）=x³+3x²…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=3x（x+2）＞0?x＞0或x＜-2 即f（x）的增区间为（-∞，-2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数
∴2m-1＜m+1≤-2或0≤2m-1＜m+1 则m≤-3或

1

2

≤m＜2…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=3x（x+2）=0?x=0或x=-2
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[-1，1]上的最大值为4，最小值为0…（10分）
∴x₁、x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤4-0=4…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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