（理）已知函数f(x)=x-12ax2-ln(1+x)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知函数f(x)=x-12ax2-ln(1+x)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

（理）已知函数f(x)=x-

1

2

ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

， x∈(-1，+∞)．
依题意，令f'（2）=0，解得 a=

1

3

．
经检验，a=

1

3

时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）①当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x₁）	↗	f（x₂）	↘

所以，f（x）的单调增区间是(0，

1

a

-1)；单调减区间是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x₂）	x₂	（x₂，x₁）	x₁	（x₁，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x₂）	↗	f（x₁）	↘

所以，f（x）的单调增区间是(

1

a

-1，0)；单调减区间是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是(0，

1

a

-1)，减区间是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是(

1

a

-1，0)；减区间是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，
由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知函数f(x)=x-12ax2-ln(1+x)，其中a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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