已知函数f（x）=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，
∴h（x）=lnx+x²-bx，
由h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，
得到b≤

1

x

+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，
因为

1

x

+2x≥2

2

，所以b≤2

2

…..（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，
令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，
假设R点存在，则

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

…..（6分）
又因为lnx1=

1

2

a

x

21

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

22

+bx2，
得到

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

2

a(x1+x2)+b=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=2(

x1

x2

-1

x1

x2

+1

)…..（8分）
令t=

x1

x2

，设h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（0，1），
h′(t)=

(t-1)2

(t+1)2

＞0，得到h（t）在（0，1）内单调递增，
h（t）＜h（1）=0，假设不成立，所以点R不存在．…..（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：