设a＞0，函数f（x）=exx2+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=12时，函数f（x）取得极值，证明：对于任意的x1，x2∈[12，32]；|f（x1）-f（x2）|≤3-e3a．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，函数f（x）=exx2+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a＞0，函数 f（x）=

ex

x2+a

．
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 x=

1

2

时，函数f（x）取得极值，证明：对于任意的 x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]；|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

a

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

ex(x2+a-2x)

(x2+a)2

=

ex[(x-1)2+a-1]

(x2+a)2

（3分）
（1）当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，即（x-1）²+a-1＞0，
解得x＜1-

1-a

，活x＞1+

1-a

．
因此，函数f（x）在区间（-∞，1-

1-a

）内单调递增，
在区间（1+

1-a

，+∞）内也单调递增．
令f′（x）＜0，即（x-1）²+a-1＜0，解得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

．
因此，函数f（x）在区间（1-

1-a

，1+

1-a

）内单调递减．（8分）
（Ⅱ）当x=

1

2

时，函数f（x）取得极值，
即f′（

1

2

）=0，∴（

1

2

）²+a-2×

1

2

=0，∴a=

3

4

由（Ⅰ）f（x）在（-∞，

1

2

）单调递增，
在（1，

3

2

）单调递减，（

3

2

，+∞）单调递增．
f（x）在x=

1

2

时取得极大值f（

1

2

）=

e

；
f（x）在x=

3

2

时取得极小值f（

3

2

）=

e

3

，
故在[

1

2

，

3

2

]上，f（x）的最大值是f（

1

2

）=

e

，
最小值是f（

3

2

）

e

3

；
对于任意的x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

e

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，函数f（x）=exx2+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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