已知函数f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6x，又函数f（x）在（0，1）单调递减，而在（1，+∞）单调递增．（1）求a的值；（2）求M的最小值，使对?x1、x2∈[-2，2]，有|f（x1）-g（x2）|≤M成立；（3）是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6x，又函数f（x）在（0，1）单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2x³-3ax²，g（x）=3x²-6x，又函数f（x）在（0，1）单调递减，而在（1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）求M的最小值，使对?x₁、x₂∈[-2，2]，有|f（x₁）-g（x₂）|≤M成立；
（3）是否存在正实数m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分16分）
（1）f′（x）=6x²-6ax，
由题意知x=1是函数f（x）的一个极值点，即f′（1）=0，∴6-6a=0，即a=1，
此时f（x）=2x³-3x²，f′（x）=6x²-6x=6x（x-1）满足条件，∴a=1．…（4分）
（2）由f′（x）=6x（x-1）=0得，x=0或x=1，
得f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=4，f（-2）=-28，
∴当x₁∈[-2，2]时，-28≤f（x₁）≤4；…（6分）
又g（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3，
∴当x₂∈[-2，2]时，-3≤g（x₂）≤24；…（8分）
因此，-52≤f（x₁）-g（x₂）≤7，∴|f（x₁）-g（x₂）|≤52；
∴满足条件的M的最小值为52．…（10分）
（3）h（x）=f（x）+mg（x）=2x³+3（m-1）x²-6mx
则h′（x）=6x²+6（m-1）x-6m=6（x-1）（x+m）=0得x₁=1，x₂=-m；…（12分）
要使得存在正实数m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值，则必须-m＞-2，即0＜m＜2，且满足

h(1)≤h(-2)

h(-m)≥h(2)

，…（14分）
得

m≥1

m3+3m2-4≥0

，即

m≥1

(m-1)(m+2)2≥0

∴m≥1
∴1≤m＜2，∴m的取值范围为1≤m＜2．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6x，又函数f（x）在（0，1）单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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