已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值：（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3-2x2-x+m=0在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，
∴f'（-1）=3a-2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=-

1

3

，b=

1

2

0在（1，2）内有根．（6分）
（II）由（I）得方程f（x）+x³-2x²-x+m=0可化为：

2

3

x3-

3

2

x2+x+m=0
令g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x+m
则g'（x）=2x²-3x+1
∵当x∈[

1

2

，2]时，g'（x）≤0
故g（x）=

2

3

x3-

3

2

x2+x+m在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，
则

g(

1

2

)≥0

g(2)≥0

g(1)＜0

解得：-

5

24

≤m＜-

1

6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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