设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，求t的-数学试题及答案

1、试题题目：设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）=0，
即t³+at=0．因为t≠0，所以a=-t²．g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）=g'（t）．
而f'（x）=3x²+a，g'（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
将a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．故a=-t²，b=t，c=-t³．
（II）y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³，y'=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．
当y'=（3x+t）（x-t）＜0时，函数y=f（x）-g（x）单调递减．
由y'＜0，若t＞0，则-

t

3

＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜-

t

3

．
由题意，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，则（-1，3）?（-

t

3

，t）或（-1，3）?（t，-

t

3

）．
所以t≥3或-

t

3

≥3．即t≤-9或t≥3．
又当-9＜t＜3时，函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减．
所以t的取值范围为（-∞，-9]∪[3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x3+ax与g（x）=bx2+c的图象的一个公共..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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