设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3（a为常数）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）³（a为常数）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）1°当x＜0时，2-x＞2，
设P（x，y）（x＜0）为y=f（x）上的任一点，
则它关于直线x=1的对称点为P₁（x₁，y₁），
满足

x1=2-x

y1=y

，
且P₁（x₁，y₁）适合y=g（x）的表达式
∴y₁=a（x₁-2）-（x₁-2）³即y=-ax+x³…（4分）
2°当x＞0时，-x＜0，∵f（x）为奇函数∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）³]=-ax+x³…（5分）
3°当x=0时，f（x）=0=-a×0+0³
综上 f（x）=-ax+x³，x∈R…（6分）
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]_min≥-2af'（x）=-a+3x²，
当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函数∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
当a＞0时，令f'（x）=0得x1=-

a

3

，x2=

a

3

若

a

3

＜1，即0＜a＜3时，则f'（x）在[1，+∞）大于零，f（x）在[1，+∞）是增函数，∴f（1）=-a+1≥-2a得0＜a＜3…（10分）
若

a

3

≥1，即a≥3时，则f（x）在[1，+∞）的最小值是f(

a

3

)=-a

a

3

+(

a

3

)3=-

2a

3

a

3

令f(

a

3

)≥-2a得3≤a≤27…（11分）
综上-1≤a≤27…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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