若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；
（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”，求实数b的范围．
（3）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”，求实数b的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函数，则θ=kπ+

π

4

(k∈Z)，b＞0，
（2）当cotθ≥1时，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的对称轴是x=-

cotθ-1

2

≤0
∴f（x）在（0，1]上是增函数，
考察函数g(x)=

f(x)

x

=x+

b

x

+(cotθ-1)，
当

b

≥1，即b≥1时，设0＜x₁＜x₂≤1，则g(x1)-g(x2)=[x1+

b

x1

+(cotθ-1)]-[x2+

b

x2

+(cotθ-1)]=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0
即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；
（3）当0＜

b

＜1，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是单调函数，
∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．
综上所述0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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