已知函数f(x)=2ax+bx+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=12处取得极值，求a，b的值；（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2ax+bx+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=12处取得极值，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2ax+

b

x

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，求a，b的值；
（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′（x）=2a-

b

x2

+

1

x

，…（2分）
由

f′(1)=0

f′(

1

2

)=0

，…（4分）
可得

a=-

1

3

b=

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…（7分）
因为f′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
所以f′（x）=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

，…（9分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
当a=0时，f′（x）=

x+1

x2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数； …（11分）
当a＜0时，令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=

2a-1

2a

=1-

1

2a

＞1，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数； …（12分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤

1

2

．…（13分）
综上所述，a的取值范围是a∈[0，

1

2

]．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2ax+bx+lnx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=12处取得极值，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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