已知函数f（x）=x3+ax，g（x）=2x2+b，它们的图象在x=1处有相同的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若h（x）=f（x）-mg（x）在区间[12，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax，g（x）=2x2+b，它们的图象在x=1处有相同的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-mg（x）在区间[

1

2

，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，（2分）
由条件知

f(1)=g(1)

f′(1)=g′(1)

，（4分）
∴

1+a=2+b

3+a=4

，
∴

a=1

b=0

（6分）
（Ⅱ）h（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，
∴h′（x）=3x²-4mx+1，若h（x）在区间[

1

2

，3]上为增函数，
则需h′（x）≥0，即3x²-4mx+1≥0，∴m≤

3x2+1

4x

．（9分）
令F（x）=

3x2+1

4x

，x∈[

1

2

，3]，
令F（x）=

12x2-4

16x2

=0，解得x=

3

，
x，F′（x）及F（x）的变化情况如下：

x

[

1

2

，

3

）

3

（

3

，3]

F'（x）

-

0

+

F（x）

↓

最小值

3

2

↑

则F（x）在区间[

1

2

，3]上的最小值是F（

3

）=

3

2

，
因此，实数m的取值范围是m≤

3

2

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax，g（x）=2x2+b，它们的图象在x=1处有相同的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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