设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k∈(12，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈(

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln2＞0
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）f（x）=（x-1）e^x-kx²，x∈[0，k]，k∈(

1

2

，1]．
f'（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k）f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=ln（2k）
令φ（k）=k-ln（2k），k∈(

1

2

，1]，φ′(k)=1-

1

k

=

k-1

k

≤0
所以φ（k）在(

1

2

，1]上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ(

1

2

)，∴1-ln2≤φ（k）＜

1

2

＜k．
即0＜ln（2k）＜k
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

f（0）=-1，f（k）=（k-1）e^k-k³f（k）-f（0）=（k-1）e^k-k³+1=（k-1）e^k-（k³-1）=（k-1）e^k-（k-1）（k²+k+1）=（k-1）[e^k-（k²+k+1）]
因为k∈(

1

2

，1]，所以k-1≤0
对任意的k∈(

1

2

，1]，y=e^x的图象恒在y=k²+k+1下方，所以e^k-（k²+k+1）≤0
所以f（k）-f（0）≥0，即f（k）≥f（0）
所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k-1）e^k-k³.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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