已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m取值范围；
（Ⅱ）求证：

ln2

2

?

ln3

3

?

ln4

4

?…?

lnn

n

＜

1

n

，(n∈N，n≥2)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0）（2分）
f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0

g′(3)＞0

（8分）
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0

g′(2)＜0

g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9（10分）
（II）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

?

ln3

3

?

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

2

?

2

3

?

3

4

??

n-1

n

=

1

n

（n≥2，n∈N*）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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