函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且|x1|+|x2|=22，则b的最大值是_____

1、试题题目：函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|+|x₂|=2

2

，则b的最大值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有两不等实根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴b²+3a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

，∵|x₁|+|x₂|=2

2

，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，∴b²=-3a³+18a²
设t=-3a³+18a²，则t′=-9a²+36a=-9a（a-4）（a＞0），
令t′＞0，得0＜a＜4，t′＜0，得a＞4，
t在（0，4]是增函数，在[4，+∞）是减函数，
∴a=4取得t最大96，∴b²最大值为96，∴b_max=4

6

故答案为：4

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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