已知函数f(x)=2ax-bx+lnx．（I）若f（x）在x=1，x=12处取和极值，①求a、b的值；②存在x0∈[14，2]，使得不等式f（x0）-c≤0成立，求c的最小值；（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2ax-bx+lnx．（I）若f（x）在x=1，x=12处取和极值，①求a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2ax-

b

x

+lnx．
（I）若f（x）在x=1，x=

1

2

处取和极值，
①求a、b的值；
②存在x0∈[

1

4

，2]，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

试题来源：北海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）①∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

∵f（x）在x=1 ，x=

1

2

处取得极值，
∴f′(1)=0 ， f′(

1

2

)=0
即

2a+b+1=0

2a+4b+2=0

?

a=-

1

3

b=-

1

3

，所以所求a，b值均为-

1

3

②在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]_min由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈[

1

2

，1]时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）在x=

1

2

处有极小值
而f(

1

2

)=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2 ， f(2)=-

7

6

+ln2
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
因e3-16＞0 ， ∴ lne

3

2

-ln4＞0 ， ∴ [f(x)]min=f(2)，
∴c≥ [f(x)]min=-

7

6

+ln2，
∴c∈ [-

7

6

+ln2，+∞)，
故 cmin=-

7

6

+ln2．
（Ⅱ）当 a=b 时，f′(x)=

2ax2+x+a

x2

①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，从而得a≤-

2

4

，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
综上可得，a∈(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2ax-bx+lnx．（I）若f（x）在x=1，x=12处取和极值，①求a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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