如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；（2）当a为何值时-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．
魔方格

以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AF=a=4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，

3

，3）、F（-1，0，4），
∴

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，3）
设平面DEF的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

?

DE

=0

n

?

DF

=0

得

-x+

3

y+2z=0

-2x+3z=0

，
令z=6，则x=9，y=-

3

，∴

n

=(9，-

3

，6)．
平面ABC的法向量可以取

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m

?

n

|

m

| |

n

|

=

6

92+(-

3

)2+62

=

30

10

．
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为

30

10

．
（2）在（1）的坐标系中，AF=a，

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，a-1），C(0，

3

，0)．
因P在DE上，设

DP

=λ

DE

，
则

OP

=

OD

+

DP

=（1，0，1）+λ(-1，

3

，2)=(1-λ，

3

λ，2λ+1)．
∴

CP

=

OP

-

OC

=(1-λ，

3

(λ-1)，2λ+1)．
于是CP⊥平面DEF的充要条件为

CP

?

DE

=0

CP

?

DF

=0

，得到

λ-1+3(λ-1)+2(2λ+1)=0

-2(1-λ)+(a-1)(2λ+1)=0

由此解得，λ=

1

4

，a=2．
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP⊥平面DEF．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：