已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为2t．（注：区间-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．（1）若在区间[-1，1]上至少存在一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=x²-8x+q²-q+1．
（1）若在区间[-1，1]上至少存在一点m，使f（m）＜0求实数q的范围．
（2）问是否存在常数t，若x∈[3，t]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为2t．（注：区间[a，b]的长度为b-a）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x²-8x+q²-q+1=（x-4）²+q²-q-15．
f（x）对称轴为x=4，开口向上，
f（x）在[-1.1]上单调递减，要满足区间上至少存在一点m，
使f（m）＜0，
即要求f（1）＜0，f（1）=q²-q-6＜0，
（q-3）（q+2）＜0，
解得：{q|-2＜q＜3}．
（2）．f（3）=q²-q-14，
f（t）=t²-8t+q²-q+1，
f（4）=q²-q-15．
若f（3）＜f（t），
值域为[q²-q-15，t²-8t+q²-q+1]，
区间长度为t²-8t+16=2t，
解得t=2（舍去）或8．
若f（3）＞f（t），值域为[q²-q-15，q²-q-14]，
区间长度为1=2t，解得t=

1

2

（舍去）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-8x+q2-q+1．（1）若在区间[-1，1]上至少存在一..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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