已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f(x)x-4lnx的零点个数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=

f(x)

x

-4lnx的零点个数．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）²-4]（a＞0）
∴f（x）_min=-4a=-4
∴a=1
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

f(x)

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x2

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0
故函数g（x）只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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