已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满足a2+（y1+y2）a+y1?y2=0．求证：（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点；（3）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象上有两点A₁（m₁，y₁），A₂（m₂，y₂），满足a²+（y₁+y₂）a+y₁?y₂=0．
求证：
（1）存在i∈{1，2}，使y_i=-a；
（2）抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点；
（3）若使该图象与x轴交点为（x₁，0）（x₂，0），（x₁＜x₂），则存在i∈{1，2}，使x₁＜m_i＜x₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
有（y₁+a）（y₂+a）=0．（2分）
∴y₁=-a或y₂=-a，
即存在i∈{1，2}，使得y_i=-a．（4分）
（2）由（1）知存在i∈{1，2}，使得y_i=-a，
则有-a=ax²+bx+c，
即ax²+bx+a+c=0，
由△=b²-4a（a+c）≥0．
∴b²-4ac≥4a²＞0．∴b²-4ac＞0．
∴抛物线y=ax²+bx+c与x轴总有两个不同的交点．（8分）
（3）方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁、x₂，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．（10分）
∴（m_i-x₁）（m_i-x₂）
=m_i²-（x₁+x₂）m_i+x₁x₂=m_i²+

b

a

m_i+

c

a

=

1

a

（am_i²+bm_i+c）
=

1

a

y_i，
由（1）可知

1

a

y_i=-1＜0，
∴x₁＜m_i＜x₂．（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上有两点A1（m1，y1），A2（m2，y2），满..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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