对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得1f(x)=1a(Ax-x1+Bx-x2)（其中A，B为常数），则称f（x））=ax2+bx+c（a≠0）为“可分解函数”．（1）试判断f（x）=x2+3x+2是否为“可分-数学试题及答案

1、试题题目：对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得1f(x)=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

对函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)（其中A，B为常数），则称f（x））=ax²+bx+c（a≠0）为“可分解函数”．
（1）试判断f（x）=x²+3x+2是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由；
（2）用反证法证明：f（x）=x²+x+1不是“可分解函数”；
（3）若f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x²+3x+2
∴

1

f(x)

=

1

x2+3x+2

=

1

(x+2)(x+1)

=

-1

x-(-2)

+

1

x-(-1)

故函数f（x）=x²+3x+2为“可分解函数”，且A=-1，B=1
（2）假设f（x）=x²+x+1是“可分解函数”，即存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

x2+x+1

即

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1?x2

）=

1

x2+x+1

，
即

A+B=0

Ax2+Bx1=-1

x1+x2=-1

x1?x2=1

，
由于方程组

x1+x2=-1

x1?x2=1

无解，
所以假设不真，
故原命题成立．
即f（x）=x²+x+1不是“可分解函数”；
（3）因为f（x）=ax²+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，
所以存在x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
使得

1

f(x)

=

1

a

(

A

x-x1

+

B

x-x2

)=

1

a

(

(A+B)x-(Ax2+Bx1)

x2-(x1+x2)x+x1?x2

）=

1

a

?

1

x2+x+

4

a

，
所以x2+x+

4

a

=0有两个不同的实根，所以△=1-

16

a

＞0
解得：a＞16或a＜0
此时方程x2+x+

4

a

=0有两个不同的实根，
且x1=

-1-

1-

16

a

2

，x2=

-1+

1-

16

a

2

代入

A+B=0

Ax2+Bx1=-1

解得

A=-

a

a-16

B=

a

a-16

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得1f(x)=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：