已知函数f（x）=ax2+bx-1满足以下两个条件：①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．（1）求f（x）的解析式；（2）设F（x）=f（-x）-kf（x），若F（x）在[-2，2]上是减-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx-1满足以下两个条件：①函数f（x）的值域为[-2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx-1满足以下两个条件：
①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；
②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设F（x）=f（-x）-kf（x），若F（x）在[-2，2]上是减函数，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由函数f（x）=ax²+bx-1满足以下两个条件：
①函数f（x）的值域为[-2，+∞）；②任意x∈R，恒有f（-1+x）=f（-1-x）成立．
所以可知：函数f（x）有最小值-2=

-4a-b2

4a

，a＞0；其函数图象关于直线x=-1对称，即-1=-

b

2a

，
联立

-2=

-4a-b2

4a

a＞0

-1=-

b

2a

，解得

a=1

b=2

∴f（x）=x²+2x-1．
（2）由（1）可知：F（x）=（1-k）x²-2（1+k）x+k-1．
当k=1时，F（x）=-4x在[-2，2]上是减函数，故k=1满足条件．
当k≠1时，F^′（x）=2（1-k）x-2（1+k）=2(1-k)(x-

1+k

1-k

)
当满足

k＞1

-2≥

1+k

1-k

时，即1＜x≤3时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
当满足

k＜1

2≤

1+k

1-k

时，即

1

3

≤k＜1时，F（x）在[-2，2]上单调递减；
综上可知：实数k的取值范围是

1

3

≤k≤3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx-1满足以下两个条件：①函数f（x）的值域为[-2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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