已知函数f(x)=ax2-12x+ca、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（Ⅰ）求a、c的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2-12x+ca、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2-

1

2

x+ca、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=0时，f(x)=-

1

2

x+c．
由f（1）=0得：-

1

2

+c=0，即c=

1

2

，∴f(x)=-

1

2

x+

1

2

．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴a≠0，函数f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

a＞0

(-

1

2

)2-4ac≤0.

即

a＞0

ac≥

1

16

＞0.

（*）…（4分）
由f（1）=0得 a+c=

1

2

，即c=

1

2

-a，代入（*）得 a(

1

2

-a)≥

1

16

．
整理得 a2-

1

2

a+

1

16

≤0，即(a-

1

4

)2≤0．
而(a-

1

4

)2≥0，∴a=

1

4

．
将a=

1

4

代入（*）得，c=

1

4

，
∴a=c=

1

4

． …（7分）
另（Ⅰ）当a=0时，f(x)=-

1

2

x+c．
由f（1）=0得 -

1

2

+c=0，即c=

1

2

，
∴f(x)=-

1

2

x+

1

2

．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数f(x)=ax2-

1

2

x+c是二次函数． …（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

a＞0

(-

1

2

)2-4ac≤0.

即

a＞0

ac≥

1

16

＞0.

…（4分）
由此可知 a＞0，c＞0，
∴ac≤(

a+c

2

)2．
由f（1）=0，得 a+c=

1

2

，代入上式得 ac≤

1

16

．
但前面已推得 ac≥

1

16

，
∴ac=

1

16

．
由

ac=

1

16

a+c=

1

2

解得 a=c=

1

4

． …（7分）
（Ⅱ）∵a=c=

1

4

，∴f(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

．
∴g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1． …（8分）
假设存在实数m使函数g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=-5，
即

1

4

m2-(

1

2

+m)m+

1

4

=-5，
解得 m=-3或m=

7

3

．
∵

7

3

＞-1，∴m=

7

3

舍去． …（10分）
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=-5，
即

1

4

(2m+1)2-(

1

2

+m)(2m+1)+

1

4

=-5．
解得 m=-

1

2

-

1

2

21

或m=-

1

2

+

1

2

21

，均应舍去． …（12分）
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=-5，
即

1

4

(m+2)2-(

1

2

+m)(m+2)+

1

4

=-5．
解得 m=-1-2

2

或m=-1+2

2

，其中m=-1-2

2

应舍去．
综上可得，当m=-3或m=-1+2

2

时，函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．
…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2-12x+ca、c∈R满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：