已知f（x）=13ax3-2x2+cx的导函数的值域为[0，+∞），是ac2+4+ca2+4的最小值为（）A．0B．14C．12D．1-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=13ax3-2x2+cx的导函数的值域为[0，+∞），是ac2+4+ca2+4的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的导函数的值域为[0，+∞），是

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值为（　　）

A．0

B．

1

4

C．

1

2

D．1

试题来源：桂林二模试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的导数为f′（x）=ax²-4x+c
∵导函数的值域为[0，+∞），
∴

a＞0

△=16-4ac=0

解得：

a＞0

ac=4

∵

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a3+c3 +4(a+c)

(c2+4)(a2+4)

=

a3+c3 +4(a+c)

a2c2+4(a2+c2)+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

16+4(a+c)2-8ac+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

4(a+c)2

=

(a+c)3-8(a+c)

4(a+c)2

=

a+c

4

-

2

a+c

设t=a+c≥2

ac

=4，∴t∈[4，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

=

t

4

-

2

t

设g（t）=

t

4

-

2

t

t∈[4，+∞）
g′（t）=

1

4

+

2

t2

＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）为增函数
∴g（t）∈[

1

2

，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值为

1

2

故选C

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=13ax3-2x2+cx的导函数的值域为[0，+∞），是ac2+4+ca2+4的..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：