已知z为虚数，且|z|=5，若z2-2.z为实数．（1）求复数z；（2）若z的虚部为正数，且ω=z+4sinθ?i（i为虚数单位，θ∈R），求ω的模的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知z为虚数，且|z|=5，若z2-2.z为实数．（1）求复数z；（2）若z的虚..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

已知z为虚数，且|z|=

5

，若z2-2

.

z

为实数．
（1）求复数z；
（2）若z的虚部为正数，且ω=z+4sinθ?i（i为虚数单位，θ∈R），求ω的模的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i为虚数单位）．
由|z|=5得 a²+b²=5（*）…（1分）
又因为z2-2

.

z

为实数，即（a+bi）²-2（a-bi）为实数，即a²-b²-2a+2b（a+1）i为实数，
所以b（a+1）=0，…（2分）
又 b≠0，所以a=-1．将a=-1代入（*）解得 b=±2．…（4分）
于是 z=-1+2i或z=-1-2i．…（5分）
（2）若z的虚部为正数，则由（1）知，z=-1+2i，所以ω=-1+2i+4sinθ?i，
即ω=-1+（2+4sinθ）?i，…（6分）
所以|ω|=

(-1)2+(2+4sinθ)2

，即|ω|=

16(sinθ+

1

2

)2+1

，
设t=sinθ（-1≤t≤1），则|ω|=

16(t+

1

2

)2+1

，
它在t∈[-1，-

1

2

]上单调递减，在t∈[-

1

2

，1]上单调递增．
所以当t=-

1

2

，即sinθ=-

1

2

，即θ=kπ-(-1)k?

π

6

(k∈Z)时，|ω|_min=1；…（8分）
又当t=-1，即sinθ=-1，即θ=2kπ-

π

2

(k∈Z)时，|ω|=

5

，当t=1，即sinθ=1，即θ=2kπ+

π

2

(k∈Z)时，|ω|=

37

，所以|ω|max=

37

．
因此所求ω的模的取值范围为 [ 1，

37

]．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知z为虚数，且|z|=5，若z2-2.z为实数．（1）求复数z；（2）若z的虚..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：