设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求正实数c的取值范围；（Ⅱ）求x2-x1的取值范围；（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-12 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（Ⅰ）由x²+x+c=0有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）及c＞0得

△=12-4c＞0

c＞0

可知：0＜c＜

1

4

…（2分）
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：

x1+x2=-1

x1x2=c

…（4分）
又x₂-x₁＞0，所以，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

1-4c

，
∵0＜c＜

1

4

，∴1＞

1-4c

＞0
∴0＜x₂-x₁＜1…（8分）
∴故x₂-x₁∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x²+x+c的开口向上
∴x₁＜m＜x₂…（10分）
可知：m-x₁＞0
而m+1＞m+（x₂-x₁）=（m-x₁）+x₂＞x₂…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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