已知椭圆的两个焦点F1(-3，0)，F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的两个焦点F1(-3，0)，F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆的两个焦点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

?

QE

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意知c=

3

，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）

x2

4

+y2=1

y=k(x-1)

消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得x1+x2=

8k2

4k2+1

x1x2=

4k2-4

4k2+1

则

PE

=(m-x1，-y1)

QE

=(m-x2，-y2)
∴

PE

?

QE

=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m2-m

8k2

4k2+1

+

4k2-4

4k2+1

+k2(

4k2-4

4k2+1

-

8k2

4k2+1

+1)
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

要使上式为定值须

4m2-8m+1

m2-4

=

4

1

，解得m=

17

8

∴

PE

?

QE

为定值

33

64

当直线l的斜率不存在时P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)由E(

17

8

，0)可得

PE

=(

9

8

，-

3

2

)

QE

=(

9

8

，

3

2

)∴

PE

?

QE

=

81

64

-

3

4

=

33

64

综上所述当E(

17

8

，0)时，

PE

?

QE

为定值

33

64

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的两个焦点F1(-3，0)，F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：