在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使OM=c-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，得 c=1．于是，a=

2

，b=1． …（2分）
所以所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1． …（4分）
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x

21

2

+

y

21

=1①，

x

22

2

+

y

22

=1②．
又设M（x，y），因

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

，故

x=x1cosθ+x2sinθ

y=y1cosθ+y2sinθ.

…（7分）
因M在椭圆上，故

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+(y1cosθ+y2sinθ)2=1．
整理得(

x

21

2

+

y

21

)cos2θ+(

x

22

2

+

y

22

)sin2θ+2(

x1x2

2

+y1y2)cosθsinθ=1．
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得

x1x2

2

+y1y2=0．
所以，kOAkOB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

为定值． …（10分）
（ii）(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x

21

2

?

x

22

2

=(1-

y

21

)(1-

y

22

)=1-(

y

21

+

y

22

)+

y

21

y

22

，故y₁²+y₂²=1．
又(

x

21

2

+

y

21

)+(

x

22

2

+

y

22

)=2，故x₁²+x₂²=2．
所以，OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=3． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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