如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=(2，-1)共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，-数学试题及答案

1、试题题目：如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=(2，-1)共线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=(

2

，-1)共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b)，
∵

AB

与

n

=(

2

，-1)共线，
∴a=

2

b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）（8分）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴

OP

?

OQ

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0（9分）
又y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

由

m2-2k2

2k2+1

+

2m2-2

2k2+1

＜0得m2＜

2

3

k2+

2

3

，
依题意m2＜

2

3

且满足（*）（11分）
故实数m的取值范围是(-

6

3

，

6

3

)（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=(2，-1)共线..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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