已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若e=32，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以M-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且

2

＜e≤

3

2

，求k的取值范围．

试题来源：河东区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得

c=3

c

a

=

3

2

，得a=2

3

．（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．（3分）
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由

x2

a2

+

y2

b2

=1

y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

，（6分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为平行四边形，
所以AF₂⊥BF₂，（7分）
因为

F2A

=(x1-3，y1)，

F2B

=(x2-3，y2)，
所以

F2A

?

F2B

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．（8分）
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，（9分）
将其整理为k2=

a4-18a2+812

-a4+18a2

=-1-

81

a4-18a2

．（10分）
因为

2

＜e≤

3

2

，所以2

3

≤a＜3

2

，12≤a²＜18．（11分）
所以k2≥

1

8

，即K∈(-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞)．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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