如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A1，A2，B1是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率e=32，且过点(2，22)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）作直线l，使得l∥A2B1，且与椭圆C相交于P、Q两点-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A1，A2，B1是椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率e=

3

2

，且过点(

2

，

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）作直线l，使得l∥A₂B₁，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A₁P和直线B₁Q的倾斜角分别是α，β，求证：α+β=π．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得：

c

a

=

3

2

a2

+

1

2b2

=1

c2=a2-b2

，解得a=2，b=1，c=

3

．∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，1）．
∴kA2B1=-

1

2

．
∵l∥A₁B₁，∴kl=kA2B1=-

1

2

．
可设直线l的方程为y=-

1

2

x+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

y=-

1

2

x+m

x2

4

+y2=1

消去y得x²-2mx+2m²-2=0．
∵直线l与椭圆有不同的两个交点，
∴△=4m²-4（2m²-2）＞0，即-

2

＜m＜

2

，
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
∵P，Q异于椭圆C的顶点，∴α≠

π

2

，β≠

π

2

，∴tanα=kA1P=

y1

x1+2

，tanβ=kB1Q=

y2-1

x2

．
∴tanα+tanβ=

y1

x1+2

+

y2-1

x2

=

y1x2+x1y2+2y2-x1-2

x2(x1+2)

．
∵y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+m．
∴tanα+tanβ=

(m-1)(x1+x2)-x1x2+2m-2

(x1+2)x2

=

2m(m-1)-(2m2-2)+2m-2

(x1+2)x2

=0，
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=0．
又∵α，β∈（0，π），∴α+β∈（0，2π），故α+β=π．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，A1，A2，B1是椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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