已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，3)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，左、右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，

3

)，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

试题来源：焦作模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由椭圆C的离心率e=

2

得

c

a

=

2

，其中c=

a2-b2

，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）又点F₂在线段PF₁的中垂线上
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c

)

2

=(

3

)2+(2-c)2解得c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由

x2

2

+y2=1

y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）≥0
即2k²-m²+1≥0
则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0
∴2k?

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0整理得m=-2k．
∴直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，左、右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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