椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为22，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为22，以短轴的一个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为

2

，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为

1

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A，B，满足：

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=4

OP

，求常数λ的值和实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆的方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意知，

1

2

b?(2c)=

1

2

，且e=

c

a

=

2

，
解得：a=1，b=c=

2

．
故椭圆C的方程为：y²+2x²=1．
（2）由

AP

=λ

PB

得，

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，
∴(1+λ)

OP

=

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴1+λ=4，λ=3．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，
且与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m

2x2+y2=1

得：（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，x1+x2=-

2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
由

AP

=3

PB

得-x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₁，x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3(

-2km

k2+2

)2+4×

m2-1

k2+2

=0，（4m²-1）k²=2-2m²．
当m2=

1

4

时，上式不成立，∴k2=

2-2m2

4m2-1

，
代入△＞0，即k²＞2m²-2，得

2-2m2

4m2-1

＞2m2-2恒成立，
即

(2-2m2)(4m2)

4m2-1

＞0，解得

1

4

＜m2＜1，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=0得m=±

1

2

．
综上所述：m的取值范围为(-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为22，以短轴的一个..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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