已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1-n）．①求a1；②求证：数列{an}是等比数列；③是否存在常数a，使得（Sn+1-a）2=（Sn+2-a）（Sn-a）对n∈N+都成立？若存在，求出-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1-n）．①..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求证：数列{a_n}是等比数列；
③是否存在常数a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．
∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1
（2）证明：∵T_n=2^n（1-n）．
∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．
将上面两式相除，
得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．
∴a_n=

1

4

^（n-1）．
∵a_n+1=

1

4

^（n）．

an+1

an

=

1

4

∴数列{a_n}是等比数列；

（3）∵sn=

1-(

1

4

)n

1-

1

4

=

4

3

-

4(

1

4

)n

3

∴sn+1=

4

3

-

4(

1

4

)n+1

3

，sn+2=

4

3

-

4(

1

4

)n+2

3

∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）
∴（S_n+1-a）²=

16[(

1

4

)(2n+2)]

9

而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）=

16[(

1

4

)(2n+2)]

9

（S_n+1-

4

3

）²=（S_n+2-

4

3

）（S_n-

4

3

）对n∈N⁺都成立
即：存在常数a=

4

3

，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1-n）．①..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：