在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．（I）记Sn=A，S2n-Sn=B，S3n-S2n=C，证明A，B，C成等比数列；（II）若a1=a∈[12010，11949]，S6S3=9，记数列{log2an}的前-数学试题及答案

1、试题题目：在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．（I）记Sn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．
（I）记S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n取何值时，T_n有最小值．

试题来源：陕西一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）当q=1时，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可见A，B，C成等比数列；（2分）
当q≠1时，A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，
C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故有

B

A

=

an+1

a1

=qn
，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．
可得

B

A

=

C

B

，这说明A，B，C成等比数列．
综上，A，B，C成等比数列；（6分）

（II）若q=1，则

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，
故有1+q³=9，解得q=2．（8分）
所以a_n=a?2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以数列{log₂a_n}是以log₂a为首项，1为公差的等差数列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因为a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知满足log₂a_n≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log₂a_n}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，T_n有最小值．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．（I）记Sn..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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