在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a3=17．（Ⅰ）求an+1与an的关系式；（Ⅱ）求证：{an+1}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n（an+1）}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0）且a₂=5，a₃=17．
（Ⅰ）求a_n+1与a_n的关系式；
（Ⅱ）求证：{a_n+1}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{n（a_n+1）}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，
∴

α+β=5

5α+β=17

解得

α=3

β=2.

∴a_n+1=3a_n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵a₁=1，即a_n+1≠0，
∴

an+1+1

an+1

=3，
∴{a_n+1}是首项为2，3为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an+1=2×3n-1，
∴Sn=1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n-1，
3Sn=1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
两式相减，得：2Sn=-1×2-2×31-2×32-…-2×3n-1+n×2×3n-1
=-2-2

3-3n

1-3

+2n?3n，
∴Sn=

3n(2n-1)+1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，已知a1=1，an+1=αan+β（α＞0）且a2=5，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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