数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；（3）设数列{bn}满足：bn=1an+n-2n-1，Sn为数列{bn}的前n项和．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a₁=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；
（3）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和．证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，an+1=2an-n2+3n，
∴a₂=2a₁-1+3=4，a₃=2a₂-4+6=10；
（2）设a_n+1=2a_n-n²+3n，可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，
∴λ=-1，μ=2
又a₁+1²+1≠0
故存在λ=-1，μ=1 使得数列{an+λn²+μn}是等比数列；
（3）证明：由（2）得a_n-n²+n=（a₁-1²+1）?2^n-1∴a_n=2^n-1+n²-n，
∴bn=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

∵

1

n2

＜

2

2n-1

-

2

2n+1

∴n≥2时，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+（

2

3

-

2

5

）+…+（

2

2n-1

-

2

2n+1

）=1+

2

3

-

2

2n+1

证明Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

当n=2时，S_n=b₁+b₂=1+

1

4

=

5

4

而当n≥3时，由bn=

1

n2

＞

1

n

-

1

n+1

得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞

n

n+1

由2n+1＞6，得1＞

6

2n+1

∴Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

对于n≥2，n∈N^*都成立，
∴n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：