繁体字转换器繁体字网旗下考试题库之数学试题栏目欢迎您！
1、试题题目：已知数列{an}的首项为a1=3，点（an，an+1）在直线3x-y=0（n∈N*）上．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的首项为a1=3，点（an，an+1）在直线3x-y=0（n∈N*）上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求f'（1）的值，并化简．
（Ⅲ）若cn=log3an3-2（n∈N*），证明对任意的n∈N*，不等式(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)?…?(1+
1
cn
)＞
33n+1
恒成立．

  试题来源：广东模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等比数列的定义及性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）由已知有3an-an+1=0，∴
an+1
an
=3，
所以数列{an]为以3为公比，以a1=3为首项的等比数列，
∴an=a13n-1=3n．
（Ⅱ）f（x）=a1x+a2x2+…+anxn则
f′（x）=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1
∴f′（1）=a1+2a2+3a3+…+nan=3+2?32+3?33+…+n?3n   ①
∴3f′（1）=32+2?33+3?34+…+（n-1）?3n+n?3n+1    ②
①-②得-2f′（1）=3+32+33+34+…+3n-n?3n+1=
3(3n-1)
3-1
-n?3n+1
∴f′（1 ）=-
3(3n-1)
4
+
n
2
?3n+1=
(2n-1)3n+1
4
+
3
4

（Ⅲ）证明：由已知cn=3n-2，则 1+
1
cn
=1+
1
3n-2
，所以
(1+
1
c1
)( 1+
1
c2
)??(1+
1
cn
)=(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3n-2
)
下面用数学归纳法证明不等式(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)?…?(1+
1
cn
)＞
33n+1

成立．
①当n=1时，左边=2，右边=
34
，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即(1+
1
c1
)( 1+
1
c2
)??(1+
1
ck
)=(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3k-2
)＞
33k+1
成立．
则当n=k+1时，左边(1+
1
c1
)( 1+
1
c2
)??(1+
1
ck
)[1+
1
3(k+1)-2
]
=(1+1)(1+
1
4
)…(1+
1
3k-2
)[1+
1
3(k+1)-2
]
＞
33k+1
?[1+
1
3(k+1)-2
]=
33k+1
?
3k+2
3k+1
=
3
(3k+2)3
(3k+1)2

只要证
3
(3k+2)3
(3k+1)2
＞＞
33(k+1)+1
成立即可
只需证   
(3k+2)3
(3k+1)2
＞3k+4成立，
只需证（3k+2）3＞（3k+4）（3k+1）2成立，
只需证27k3+54k2+36k+8＞27k3+54k2+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k为正整数，显然成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)?…?(1+
1
cn
)＞
33n+1
恒成立
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项为a1=3，点（an，an+1）在直线3x-y=0（n∈N*）上．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

数学试题大全 2016-03-09更新的数学试题 网站地图 | 繁体字网 -- 为探究古典文化架桥，为弘扬中华文明助力！
版权所有： CopyRight © 2010-2014 www.fantiz5.com All Rights Reserved.
联系我们：