设f1（x）=21+x，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=fn(0)-1fn(0)+2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=4n2+n4n2+4n+1（n∈N*），试比较9T2n与Qn的大小，-数学试题及答案

1、试题题目：设f1（x）=21+x，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=fn(0)-1fn(0)+2（n∈N*）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设f₁（x）=

2

1+x

，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=

4n2+n

4n2+4n+1

（n∈N^*），试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f₁（0）=2，a₁=

2-1

2+2

=

1

4

，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2

1+fn(0)

-1

2

1+fn(0)

+2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

a_n．
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为-

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

4

（-

1

2

）ⁿ-¹．
（2）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-₁+2na_2n，
∴-

1

2

T_2n=（-

1

2

a₁）+（-

1

2

）2a₂+（-

1

2

）3a₃+…+（-

1

2

）（2n-1）a_2n-1+(-

1

2

)2na_2n
=a₂+2a₃+…+（2n-1）a_2n-na_2n．
两式相减，得

3

2

T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n．
∴

3

2

T_2n=

1

4

[1-(-

1

2

)2n]

1+

1

2

+n×

1

4

（-

1

2

）²ⁿ-¹=

1

6

-

1

6

（-

1

2

）²ⁿ+

n

4

（-

1

2

）²ⁿ-¹．
T_2n=

1

9

-

1

9

（-

1

2

）²ⁿ+

n

6

（-

1

2

）²ⁿ-¹=

1

9

（1-

3n+1

22n

）．
∴9T_2n=1-

3n+1

22n

．
又Q_n=1-

3n+1

(2n+1)2

，
当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q _n；
当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，∴9T_2n＜Q_n；
综上得：9T_2n＜Q _n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f1（x）=21+x，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=fn(0)-1fn(0)+2（n∈N*）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：