已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2?an．（1）求证数列{ann2}是等比数列，并求其通项公式；（2）设bn=ann，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设Cn=nan，求证：c1+c2+c3+…+cn＜710．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2?an．（1）求证数列{ann2}是等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²?a_n．
（1）求证数列{

an

n2

}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b n=

an

n

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设C_n=

n

an

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜

7

10

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+1=2（1+

1

n

）²?a_n，
∴

an+1

(n+1)2

=2?

an

n2

∵a₁=2，∴{

an

n2

}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴

an

n2

=2n
∴a_n=n²?2ⁿ；
（2） bn=

an

n

=n?2ⁿ
∴S_n=1?2¹+2?2²+…+n?2ⁿ
∴2S_n=1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹
两式相减可得-S_n=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹；
（3）证明：c_n=

n

an

=

1

n?2n

＞0，
设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，则T₁＜T₂＜T₃＜T₄，
当n≥4时，T_n=

1

1?2

+

1

2?22

+…+

1

n?2n

＜

1

2

+

1

8

+

1

4

(

1

24

+…+

1

2n

)=

2

3

+

1

4

?

1

23

-

1

4

?(

1

2

)n＜

2

3

+

1

4

?

1

23

＜

2

3

+

1

30

=

7

10

综上：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

7

10

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2?an．（1）求证数列{ann2}是等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：