已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列；（2）若an+1＞an（n∈N*）恒成立，求λ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=λ（λ＜3且λ≠-2），且a_n+2=a_n+1+6a_n．（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列；
（2）若a_n+1＞a_n（n∈N^*）恒成立，求λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解析：（1）由a_n+2=a_n+1+6a_n得a_n+2+2a_n+1=3（a_n+1+2a_n）a_n+2-3a_n+1=-2（a_n+1-3a_n）…（4分）
由λ＜3是λ≠-2知a₂+2a₁≠0，a₂-3a₁≠0，故有

an+2+2an-1

an+1+2an

=3，

an+2-3an+1

an+1-3an

=-2
∴数列{a_n+1+2a_n}与数列{a_n+1-3a_n}都是等比数列．…（6分）
（2）由（1）知：a_n+1+2a_n=（λ+2）3^n-1①a_n+1-3a_n=（λ-3）（-2）^n-1②…（7分）
由①-②得5a_n=（λ+2）3^n-1+（3-λ）（-2）^n-15a_n+1=（λ+2）3ⁿ+（3-λ）（-2）ⁿ…（8分）
∴5（a_n+1-a_n）=（2λ+4）?3^n-1+（3λ-9）?（-2）^n-1＞0，又∵λ＜3，
化简得

2λ+4

9-3λ

＞(-

2

3

)n-1…（10分）
对于任意n∈N^*，总有(-

2

3

)n-1≤1…（11分）
∴

2λ+4

9-3λ

＞1，解之得1＜λ＜3…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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